Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=c-

1

an

．
（Ⅰ）设a=c=2，b_n=

1

an-1

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=1，求证：{a_n}是递增数列的充分必要条件是c＞2．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列,简易逻辑

分析：（Ⅰ）代入向b_n化简，可证明为等差数列；（Ⅱ）要分开证明必要性与充分性．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=c=2，
∴a_n+1-1=1-

1

an

=

an-1

an

；
∴

1

an+1-1

=

1

an-1

+1，
即：b_n+1-b_n=1，
∴数列{b_n}是公差为1的等差数列，
又b₁=1，
∴b_n=n．
（Ⅱ）证明：“必要性”
∵数列{a_n}递增，
∴a₂＞a₁，
∵a₁=1，a₂=c-1，∴c-1＞1，
∴c＞2．
“充分性”
①n=1时，显然成立；
②假设a_k+1＞a_k＞0（k≥1，k∈N）成立，则

1

ak+1

＜

1

ak

，
那么a_k+2=c-

1

ak+1

＞c-

1

ak

=a_k+1
综合①②得a_n+1＞a_n＞0（n∈N^*）成立．
即c＞2时，数列{a_n}递增，
综上所述，{a_n}是递增数列的充分必要条件是c＞2．

点评：本题考查了等差等比数列，同时考查了数学归纳法，属于中档题．