Question

若f（x）是（-a，a）上的可导奇函数，且f'（x）不恒为零，则f'（x）在（-a，a）上（　　）

• A、必为奇函数
• B、必为偶函数
• C、是非奇非偶函数
• D、可能为奇函数，也可能是偶函数

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的概念及应用

分析：证明f′（x）是（-a，a）内的偶函数即证f′（-x）=f′（x），而函数f（x）没有解析式，故想到运用导数的定义进行证明．

解答： 证明：对任意 x∈（-1，1），f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(-(x-△x)-f(-x)

△x

，
由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=f′（-x）=

lim

△x→0

-f(x-△x)+f(x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

△x

=f′（x）
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）内的偶函数．
故选：B．

点评：本题考查导数的定义以及函数奇偶性的判断，关键是正确利用导数的定义，函数奇偶性的判断方法．