Question

某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是

2

3

，出现绿灯的概率都是

1

3

．记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这排装饰灯闪烁一次时：
（1）求ξ=2时的概率；
（2）求ξ的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）直接利用独立重复试验的概率公式求解，即可求ξ=2时的概率；
（2）法一：利用二项分布直接求ξ的数学期望．
法二：通过ξ的可能取值为0，1，2，3，4求出概率，然后求出期望．

解答： 解：（1）P(ξ=2)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

=

8

27

…（3分）
即 ξ=2时的概率为

8

27

…（4分）
（2）法一：依题意，ξ～B(4，

2

3

)，∴Eξ=4×

2

3

=

8

3

…（12分）
法二：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P(ξ=0)=

C

0 4

(

2

3

)0(

1

3

)4=

1

81

P(ξ=1)=

C

1 4

(

2

3

)1(

1

3

)3=

8

81

P(ξ=2)=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

=

8

27

P(ξ=3)=

C

3 4

(

2

3

)3(

1

3

)1=

32

81

P(ξ=4)=

C

4 4

(

2

3

)4(

1

3

)0=

16

81

…（10分）
∴Eξ=0×

1

81

+1×

8

81

+2×

24

81

+3×

32

81

+4×

16

81

=

8

3

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望的求法，判断试验类型简化解题过程．