Question

已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（1，0）平面内两点G、M同时满足
①

GA

+

GB

+

GC

=

0

；
②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；
③|

GM

|∥|

AB

|；
求△ABC的顶点C的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由GM∥AB，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程．

解答： 解：由

GA

+

GB

+

GC

=

0

得，G为重心，
由②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|得，M为外心．
所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）．
又|

GM

|∥|

AB

|，则GM∥AB．
设M为（0，y），G为（x，y）（y≠0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）．
再由MA=MC，得

1+y2

=

(3x)2+(y-3y)2

．
整理得：9x²+3y²=1①．
再设C（x'，y'），由3x=x'，3y=y'得x=

x′

3

，y=

y′

3

．
代入①得：x′2+

y′2

3

=1．
所以△ABC的顶点C的轨迹方程为x′2+

y′2

3

=1（y≠0）．

点评：本题考查了轨迹方程，解答此题的关键是根据题目给出的条件判出G点是三角形ABC的重心，M为外心，考查了三角形的重心坐标公式，训练了代入法求曲线方程，此题属中档题．