Question

设a∈R，函数f（x）=

ex

2

（ax²+a+1），其中e是自然对数的底数．
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[-2，-1]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′(x)=

ex

2

(ax2+2ax+a+1)，由此利用导数性质能求出f（x）的单调函数．
（2）由已知条件推导出x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，由此能求出f（x）在[-2，-1]上的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

2

（ax²+a+1），
∴f′(x)=

ex

2

(ax2+2ax+a+1)，
设g（x）=ax²+2ax+a+1=a（x+1）²+1，
当a≥0时，g（x）≥1，f′（x）＞0，
即f（x）在R上是单调递增函数，
当a＜0时，g（x）=0的两根分别为

-a± -a

a

，
且

-a+ -a

a

＜

-a- -a

a

，
当x∈(

-a+ -a

a

，

-a- -a

a

)时，g（x）＞0
即f'（x）＞0
当x∈(-∞，

-a+ -a

a

)∪(

-a- -a

a

，+∞)时，g（x）＜0
即f'（x）＜0，
∴f（x）在（

-a+ -a

a

，

-a- -a

a

）上是单调递增函数，
在（-∞，

-a+ -a

a

）和（

-a- -a

a

，+∞）上是单调递减函数．
（2）当-1＜a＜0时，

a+ -a

a

=-1-

1

-a

＜-2，

-a- -a

a

=-1+

1

-a

＞-1，
∴x∈[-2，-1]时，f（x）是单调递增函数，
故x=-2时，f（x）_min=f（-2）=

5a+1

2e2

，
x=-1时，f(x)max=f(-1)=

2a+1

2e

．

点评：本题主要考查最值的求法、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．