Question

在等差数列{a_n}中，若a₅=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），若a₁₀=0则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊）根据上述规律，若a₁₅=0，则有怎样的等式？并给出证明．

Answer 1

考点：归纳推理,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：由已知中若a₅=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），若a₁₀=0则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊）归纳可得若a₁₅=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊），进而根据等差数列的定义，可得答案．

解答： 解：∵若a₅=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），
若a₁₀=0则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊），
归纳可得：
若a₁₅=0，则有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊），
当n＜15时，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=-（a_n+1+a_n+2+…+a_29-n）=（2n-29）•a₁₅=0，
当n≥15时，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=a_30-n+a_31-n+…+a_n=（2n-29）•a₁₅=0，
综上，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=0恒成立，
即a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊）．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．