Question

双曲线E与椭圆

x2

25

+

y2

16

=1有公共焦点，且离心率为

3

2

．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若斜率为1的直线l交双曲线E于A、B两点，且|AB|=4

30

，求l方程．

Answer 1

考点：双曲线的应用,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用双曲线E与椭圆

x2

25

+

y2

16

=1有公共焦点，且离心率为

3

2

，求出几何量，即可求双曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+t，与双曲线E的方程联立，结合弦长公式，即可求l方程．

解答： 解：（1）由c²=25-16=9，得c=3，又e=

c

a

=

3

2

，得a=2，
∴b²=c²-a²=5．
∴双曲线E的方程为

x2

4

-

y2

5

=1．…（6分）
（2）设直线l的方程为y=x+t，
由

x2 4 - y2 5 =1 y=x+t

，得x²-8tx-4（t²+5）=0，
∴△=80（t²+1）＞0，
由弦长公式，得|AB|=4

5

t2+1

1+12

=4

30

，
∴

t2+1

=

3

，则t=±

2

．
∴直线方程为x-y+

2

=0或x-y-

2

=0．…（12分）

点评：本题考查双曲线、椭圆的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．