Question

（Ⅰ）证明：a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）；
（Ⅱ）已知：a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，
求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：不等式的证明,反证法与放缩法

专题：证明题,推理和证明

分析：（Ⅰ）可利用分析法，要证a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）成立，只需证其充分条件2（a²+b²+3）≥2ab+2

3

（a+b）成立，只需证下一个充分条件成立，…，直到其充分条件显然成立为止；
（Ⅱ）利用反证法，假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，通过正确的推理，导出矛盾，从而推翻假设，肯定原结论成立．

解答： （Ⅰ）证明：要证a²+b²+3≥ab+

3

（a+b）成立，
只要证：2（a²+b²+3）≥2ab+2

3

（a+b）；
即证：（a²+b²-2ab）+（a²+3-2

3

a）+（b²-2

3

b+3）≥0；
即证：（a-b）²+(a-

3

)2+(b-

3

)2≥0，
而上式显然成立，当且仅当a=b=

3

时取“=”，故原结论成立．
（Ⅱ）证明：假设a≤0，b≤0，且c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0，与a+b+c≤0矛盾，
故假设不成立，
所以原结论成立，即a，b，c中至少有一个大于0．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查分析法与反证法的应用，考查推理论证能力，属于中档题．