Question

已知动点M到定点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离少1．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=

π

3

时，证明AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：直线与圆

分析：（1）设M（x，y），则

(x-1)2+y2

+1=x+2，由此能求出动点M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线AB的方程为y=kx+b，将y=kx+b与y²=4x，得ky²-4y+4b=0，由韦达定理知y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，由此能推导出直线AB恒过定点（-4，

4 3

3

）．

解答： （1）解：设M（x，y），
∵动点M到定点（1，0）的距离比到直线x=-2的距离少1，
∴

(x-1)2+y2

+1=x+2，
解得动点M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）证明：如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁x₂≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
将y=kx+b与y²=4x联立消去x，得ky²-4y+4b=0，
由韦达定理知y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，①
∵α+β=

π

3

，∴tan

π

3

=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-64

，
将①式代入上式整理化简可得：tan

π

3

=

4

b-4k

，
所以b=

4

3

+4k=

4 3

3

+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

4 3

3

+4k，
即k（x+4）-（y-

4 3

3

）=0，
所以直线AB恒过定点（-4，

4 3

3

）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．