Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求线段MN中点的坐标；
（3）以V（-6，-6）为圆心的圆与曲线E交于R、S两点，求RS中点T的轨迹方程．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题,椭圆的应用,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义即可得出；
（2）利用重心定理即可得出；
（3）利用“点差法”、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．

解答： 解：（1）以CB所在直线为x轴，CB中垂线为y轴建立直角坐标系，设P（x，y）．
∴|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=3+5=8＞4=|BC|，
∴动点P轨迹为椭圆，c=2，a=4，b=2

3

．
∴曲线E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又Q(0， 2

3

)，B（2，0）．
∴由重心公式得

2= 0+x1+x2 3 0= 2 3 +y1+y2 3

，则

x1+x2=6 y1+y2=-2 3

，
∴MN中点为(3， -

3

)．
（3）设R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），T（x，y）．
由

x 2 3 16 + y 2 3 12 =1 x 2 4 16 + y 2 4 12 =1

，
相减化简得

(x3-x4)•2x

16

=-

(y3-y4)•2y

12

，
即kRS•y=-

3

4

x；①
由VT⊥RS，得k_RS•k_VT=-1，即kRS•

y+6

x+6

=-1．②
由①、②化简得xy-18x+24y=0，并且满足

x2

16

+

y2

12

＜1．

点评：本题考查了椭圆的定义、重心定理、“点差法”、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．