Question

【题目】已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求证：数列logman=2n+2，{an}是等比数列；
（Ⅱ）若bn=anf（an），记数列{bn}的前n项和为Sn ， 当m= 时，求Sn ．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由题意f（an）=4+2（n﹣1）=2n+2，即logman=2n+2，
∴
∴{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
解：（Ⅱ）当m= 时，
bn=anf（an）=（2n+2）2n+1 ，
Sn=422+623+824+…+（2n+2）2n+1 ， …①
2Sn=423+624+…+（2n）2n+1+（2n+2）2n+2 ， …②
②﹣①并整理，得Sn=2n+3n
【解析】（Ⅰ）由题意得：logman=2n+2，即 ，可得{an}是等比数列；（Ⅱ）若bn=anf（an）=（2n+2）2n+1 ， 利用错位相减法，可得Sn ．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．