Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率等于．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，与圆交于两点．若，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）由题意得关于a,b,c方程组，解方程组可得椭圆的方程；（2）根据垂径定理可求直线被圆解得弦长CD，根据韦达定理以及弦长公式可求AB,即得关于m的函数关系式，结合直线与圆相交条件得m取值范围，根据m范围求的取值范围．

试题解析：（1）由题意可得e==，

a2﹣b2=c2，

将M的坐标代入椭圆方程，可得

+=1，

解得a=2，b=c=2，

即有椭圆的方程为+=1；

（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，

由弦长公式可得2=2，

解得m=±，

可得直线的方程为y=x±；

②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，

可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，

由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，

化简可得m2＜12，

由直线和圆相交的条件可得d＜r，

即有＜，即为m2＜4，

综上可得m的范围是（﹣2，2）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=﹣，x1x2=，

即有弦长|AB|=

==，

|CD|=2=，

即有λ===，

由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，

即有λ≥．

则λ的取值范围是[，+∞）．