Question

【题目】设函数f（x）＝｜3﹣2x｜+｜2x﹣a｜

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若存在x∈R使得不等式f（x）≤t++2对任意t＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可；

解法二：利用分段函数表示f（x），作出y＝f（x）和直线y＝3的图象，利用图象求出不等式的解集；

（2）由题意可得f（x）的最小值不大于t2的最小值，利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，利用基本不等式求出t2的最小值，

再列不等式求得实数a的取值范围．

（1）解法一：当a＝1时，f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣1|；

当x时，不等式f（x）≤3可化为：﹣2x+1﹣2x+3≤3，

解得x，此时x；

当x时，不等式f（x）≤3可化为为：2x﹣1﹣2x+3≤3，

此不等式恒成立，此时得x；

当x时，不等式f（x）≤3可化为：2x﹣1+2x﹣3≤3，

解得得x，此时x，

综上知，x，即不等式的解集为[，]；

解法二：利用分段函数表示f（x）；

作出y＝f（x）和直线y＝3的图象，如图所示：

由f（x）＝3解得：x或x，

由图象可得不等式的解集为[，]；

（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，

即f（x）的最小值为|a﹣3|，

由t2≥22＝6，当且仅当t，即t＝2时，取等号，

因为存在x∈R，使得不等式f（x）≤t2对任意t＞0恒成立，

所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤9；

所以实数a的取值范围是﹣3≤a≤9．