Question

已知△ABC的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A，B的坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（Ⅰ）求顶点C的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段CA的延长线交轨迹W于点D，当时，求线段CD的垂直平分线l与x轴交点的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的定义求轨迹方程．
（2）设出直线AC方程，代入椭圆，据根与系数的关系求出CD中点的坐标，得到CD垂直平分线l的方程，令y=0，得l与x轴交点的横坐标解析式，利用导数判断解析式的单调性，据单调性得出l与x轴交点的横坐标的取值范围．
解答：解：
（Ⅰ）因为|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，
点A、B的坐标分别为（-1，0），（1，0）
所以|CB|+|CA|=2|AB|=4且4＞|AB|
由椭圆的定义可知点C的轨迹是以A，B为焦点、长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），
所以．
故顶点C的轨迹W方程为．（4分）
（Ⅱ）由题意可知直线AC的斜率存在，设直线AC方程为y=k（x+1）．
由得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
设C，D两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，，
所以线段CD中点E的坐标为，
故CD垂直平分线l的方程为，
令y=0，得l与x轴交点的横坐标为，
由得，解得-1＜x₁≤0，
又因为，所以．
当-1＜x₁≤0时，有，此时函数递减，
所以k²≥3．所以，．
故直线l与x轴交点的横坐标的范围是．（13分）
点评：本题考查等差数列的性质、椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合应用．