Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-1，a]（a＞-1）上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义即可求函数f（x）的解析式．
（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对a（要考虑函数的解析式及单调性）进行分类讨论即可求出函数的值域．

解答：（1）当x＞0时，f（x）=-x²+2x，
又f（x）为奇函数，则当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-（-x²-2x）=x²+2x，又f（0）=0
故f(x)=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+2x，x＜0

．
（2）结合f（x）的图象，f（-1）=-1，由

a＞0 f(a)=-1

得a=1+

2

．
①当-1＜a≤1时，函数在[-1，a]单调递增，值域为[-1，f（a）]．
又x＞0，f（x）=-x²+2x，x＜0，f（x）=x²+2x．
则-1＜a≤0时，值域为[-1，a²+2a]，0＜a≤1时，值域为[-1，-a²+2a]．
②当1＜a≤1+

2

时，函数在[-1，1]上单调递增，在[1，a]上单调递减．
最小值在x=-1处取得，最大值在x=1处取得，此时值域为[-1，1]．
③当a＞1+

2

时，函数在[-1，1]上单调递增，在[1，a]是单调递减．
最大值在x=1处取得，最小值在x=a处取得．
此时函数的值域为[-a²+2a，1]．
综上所述：当-1＜a≤0时，值域为[-1，a²+2a]；
          当0＜a≤1时，值域为[-1，-a²+2a]；
          当1＜a≤1+

2

时，值域为[-1，1]；
          当＞1+

2

时，函数的值域为[-a²+2a，1]．

点评：掌握奇函数的定义和灵活的利用分类讨论是解题的关键．