Question

已知函数f（x）=e^x-，（其中a∈R．无理数e=2.71828…）
（Ⅰ）若a=-时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，试求a的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）a=-时，函数f（x）=e^x-，求导数可得f′（x）=e^x-x+
∴f′（1）=e-，f（1）=e-1
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-1）=（e-）（x-1），即（e-）x-y-=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得ax≤e^x-x²-1，因为x，所以a≤．
令g（x）=，则g′（x）=．
令h（x）=e^x（x-1）-x²+1，所以h′（x）=x（e^x-1）．
因为x，所以h′（x）＞0，所以h（x）在[，+∞）上单调增
所以h（x）≥h（）=-＞0
所以g′（x）＞0
∴g（x）在[，+∞）上单调增
∴g（x）≥g（）=2-
∴a≤2-
∴a的最大值为2-．
分析：（Ⅰ）求导数，求得切线的斜率，再利用点斜式，可得切线方程；
（Ⅱ）由f（x）≥0，分离参数可得a≤，确定右边所对应函数的单调性，求出其最小值，即可求得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确构建函数是关键．