Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上一点，且不为中点．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）证明：平面D₁DE不可能与平面D₁BC垂直．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）建立坐标系，设AE=λEB，求出

D1E

=（1，

2λ

1-λ

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），证明

D1E

•

A1D

=0，可得D₁E⊥A₁D；
（2）利用反证法证明平面D₁DE不可能与平面D₁BC垂直．

解答： （1）证明：建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），B₁（1，2，1），C₁（0，2，1），D₁（0，0，1），
设AE=λEB，则E（1，

2λ

1-λ

，0），
∴

D1E

=（1，

2λ

1-λ

，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
∴

D1E

•

A1D

=0，
∴D₁E⊥A₁D；
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，∴设平面D₁DE的法向量为

m

=（x，y，0）．
∵

DE

=（1，

2λ

1+λ

，-1），∴平面D₁DE的一个法向量为

m

=（

2λ

1+λ

，-1，0），
同理平面D₁BC的法向量为

n

=（2-

2λ

1-λ

，1，2），
由

m

•

n

=0可得λ=1，
∴E是棱AB的中点，与题设矛盾，
∴平面D₁DE不可能与平面D₁BC垂直．

点评：本题考查线线、线面垂直，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．