Question

对于任意实数x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大值时，求f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的单调区间．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+2|+|x-2|≥4，从而可得a的取值范围；
（2）令g（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，由g（x）≥0及二次函数的单调性，复合函数的单调性可求得f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的单调区间．

解答： 解：（1）∵|x+2|+|x-2|≥|（x+2）+（2-x）|=4，对于任意实数x，不等式|x+2|+|x-2|≥a恒成立，
∴a≤4；
（2）∵a的最大值为4，
∴f（x）=

-x2-2x+3

，
令g（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，其对称轴方程为x=-1；
由g（x）≥0，得-3≤x≤1，
∴g（x）=-x²-2x+3在区间[-3，-1]单调递增，在区间[-1，1]单调递减，
由复合函数的单调性知，f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

在区间[-3，-1]单调递增，在区间[-1，1]单调递减．
即f（x）=

-x2- 1 2 ax+3

的增区间为[-3，-1]，减区间为[-1，1]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查复合函数的单调性，属于中档题．