Question

2．已知函数f（x）=aln（x+b），g（x）=ae^x-1（其中a≠0，b＞0），且函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线与函数g（x）的图象在点B（0，g（0））处的切线重合．
（1）求实数a，b的值；
（2）记函数φ（x）=xf（x-1），是否存在最小的正常数m，使得当t＞m时，对于任意正实数x，不等式φ（t+x）＜φ（t）•e^x恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和方程；求得g（x）的导数，求得切线的斜率和方程，由切线重合，可得方程，解得a，b；
（2）等价变形可构造函数$m（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，则问题就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．求出m（x）的导数，令h（x）=lnx+1-xlnx，求出导数，单调区间，运用零点存在定理可得h（x）的零点以及m（x）的单调性和最值，结合单调性，即可判断存在．

解答 解：（1）∵f（x）=aln（x+b），导数$f'（x）=\frac{a}{x+b}$，
则f（x）在点A（0，alnb）处切线的斜率$k=f'（0）=\frac{a}{b}$，切点A（0，alnb），
则f（x）在点A（0，alnb）处切线方程为$y=\frac{a}{b}x+alnb$，
又g（x）=ae^x-1，∴g'（x）=ae^x，
则g（x）在点B（0，a-1）处切线的斜率k=g'（0）=a，切点B（0，a-1），
则g（x）在点B（0，a-1）处切线方程为y=ax+a-1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a}{b}=a}\\{alnb=a-1}\end{array}}\right.$，解得a=1，b=1；
（2）$φ（{t+x}）＜φ（t）•{e^x}?（{t+x}）ln（{t+x}）＜tlnt•{e^x}?\frac{{（{t+x}）ln（{t+x}）}}{{{e^{1+x}}}}＜\frac{tlnt}{e^t}$，
构造函数$m（x）=\frac{xlnx}{e^x}$，则问题就是求m（t+x）＜m（t）恒成立．$m'（x）=\frac{{（{lnx+1}）{e^x}-xlnx•{e^x}}}{{{e^{2x}}}}=\frac{lnx+1-xlnx}{e^x}$，令h（x）=lnx+1-xlnx，
则$h'（x）=\frac{1}{x}-lnx-1$，显然h'（x）是减函数，又h'（1）=0，
所以h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
而$h（{\frac{1}{e^2}}）=ln\frac{1}{e^2}+1-\frac{1}{e^2}•ln\frac{1}{e^2}=-2+1+\frac{2}{e^2}=\frac{{2-{e^2}}}{e^2}＜0$，
h（1）=ln1+1-ln1=1＞0，h（e）=lne+1-elne=1+1-e=2-e＜0，
所以函数h（x）=lnx+1-xlnx在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，
令为x₁和x₂（x₁＜x₂），并且有在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上，h（x）＜0，
即m'（x）＜0；在区间（x₁，x₂）上，h（x）＞0，即m'（x）＞0，
从而可知函数m（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上单调递减，
在区间（x₁，x₂）上单调递增．m（1）=0，当0＜x＜1时，m（x）＜0；
当x＞1时，m（x）＞0，
还有m（x₂）是函数的极大值，也是最大值，题目要找的m=x₂，
理由：当t＞x₂时，对于任意非零正数x，t+x＞t＞x₂，
而m（x）在（x₂，+∞）上单调递减，
所以m（t+x）＜m（t）一定恒成立，即题目要求的不等式恒成立；
当0＜t＜x₂时，取x=x₂-t，显然m（t+x）=m（x₂）＞m（t），
题目要求的不等式不恒成立，说明m不能比x₂小；
综合可知，题目所要求的最小的正常数m就是x₂，
即存在最小正常数m=x₂，当t＞m时，对于任意正实数x，
不等式m（t+x）＜m（t）•e^x恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，以及函数零点存在定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．