Question

16．已知幂函数f（x）=x^3m-9（m∈N^*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足（a+1）^-m＜（3-2a）^-m的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由幂函数的单调性和奇偶性结合已知条件求出m=1，从而得到（a+1）^-1＜（3-2a）^-1，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵幂函数f（x）=x^3m-9（m∈N^*）在（0，+∞）上是减函数，
∴3m-9＜0，解得m＜3，
∵m∈N^*，∴m=1或m=2，
∵函数的图象关于y轴对称，∴3m-9是偶数，∴m=1，
∵（a+1）^-m＜（3-2a）^-m，∴（a+1）^-1＜（3-2a）^-1，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$．
∴实数a的取值范围是（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的单调性和奇偶性的合理运用．