Question

已知a是三角形的内角，且sina+cosa=

1

5

．
（1）求tana的值；
（2）用tana表示

1

cos2a-sin2a

，并求其值．

Answer 1

考点：三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）sina+cosa=

1

5

⇒（sina+cosa）²=1+2sinacosa=

1

25

，可求得a为钝角，tana＜0，再由2sinacosa=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=-

24

25

，即可求得tana的值；
（2）将

1

cos2a-sin2a

的分母中的“1”转化为sin²a+cos²a，再将“弦”化“切”，把tana=-

4

3

代入计算即可．

解答： 解：（1）∵sina+cosa=

1

5

，
∴（sina+cosa）²=sin²a+cos²a+2sinacosa=1+2sinacosa=

1

25

，
∴2sinacosa=-

24

25

，又a是三角形的内角，sina＞0，
∴cosa＜0，即a为钝角，tana＜0，
由2sinacosa=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=-

24

25

，得tana=-

4

3

；
（2）∵tana=-

4

3

，
∴

1

cos2a-sin2a

=

sin2a+cos2a

cos2a-sin2a

=

1+tan2a

1-tan2a

=

1+ 16 9

1- 16 9

=-

25

7

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与二倍角的正弦、同角三角函数间的关系式的应用，“弦”化“切”是关键，考查转化思想，属于中档题．