Question

求曲线C：y=x²-2x+2关于直线l：x-y-3=0的对称曲线C₂的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：转化思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设所求曲线C₂上任意一点P（x，y），由P关于直线x-y-3=0对称的点P'（m，n）在已知曲线上，根据P与P'关于直线x-y-3=0对称建立可得P与P′的关系，进而用x、y表示m，n，然后代入已知曲线f（x，y）=0，即可求出所求．

解答： 解：设点P（x，y）在所求曲线C₂上，
该点关于直线对称的点P′（m，n）在曲线C上，即n=m²-2m+2，
因为PP′垂直于直线l，
所以

n-y

m-x

=-1⇒m+n=x+y①，
而PP′中点在直线上l，
所以

m+x

2

-

y+n

2

-3=0⇒m-n=6-x+y②，
①②联立，解得m=y+3，n=x-3，
则（x-3）=（y-3）²-2（y-3）+2，
即x=y^2₊₄y+8．

点评：本题主要考查了已知曲线关于直线l对称的曲线的求解，其步骤一般是：在所求曲线上任取一点A求出A关于直线的对称点B，则B在已知曲线上，从而代入已知曲线可求所求曲线．