Question

已知函数f（x）=x-alnx．
（1）若a=1，求该函数在定义域内的最小值；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]内时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：函数f（x）=x-alnx的定义域为（0，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，求导从而确定最小值；
（2）求导f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，讨论f（x）的单调性，化恒成立问题为最值问题即可．

解答： 解：函数f（x）=x-alnx的定义域为（0，+∞）；
（1）若a=1，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
f（x）在（0，+∞）上先减后增，
故f_min（x）=f（1）=1-0=1；
（2）f′（x）=1-a

1

x

=

x-a

x

，
①当a≤1时，f′（x）≥0，
f（x）在[1，2]上单调递增，
故f（x）≥0可化为f（1）≥0，
即1≥0，显然成立；
②当a≥2时，f′（x）≤0，
f（x）在[1，2]上单调递减，
故f（x）≥0可化为f（2）≥0，
即2-aln2≥0，
解得，a≤

2

ln2

=2log₂e；
故2≤a≤2log₂e；
③当1＜a＜2时，
当1≤x＜a时，f′（x）＜0，
当a≤x≤2时，f′（x）≥0；
f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增；
故f（x）≥0可化为f（a）≥0，
即a-alna≥0，
解得，a≤e，
故1＜a＜2；
综上所述，a≤2log₂e．

点评：本题考查了导数的应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．