Question

过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线OA的方程为：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，可得y_D=-

p2

y1

．设直线AB的方程为：my=x-

p

2

，与抛物线的方程联立化为y²-2pm-p²=0，利用根与系数的关系可得y1y2=-p2．可得y_D=y₂．即可证明．

解答： 证明：设抛物线的标准方程为：y²=2px（p＞0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线OA的方程为：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，令x=-

p

2

，可得y_D=-

p2

y1

．
设直线AB的方程为：my=x-

p

2

，
联立

my=x- p 2 y2=2px

，化为y²-2pm-p²=0，
∴y1y2=-p2．
∴y2=-

p2

y1

．
∴y_D=y₂．
∴直线DB平行于抛物线的对称轴．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了平行线的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．