Question

在△ABC中∠C=90°，AC=8，BC=6，以这个直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周，求所得到的几何体的表面积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：以三条边分别为轴旋转，得到不同的圆锥或者圆锥的组合体，分别计算表面积．

解答： 解：（1）当以AC边所在的直线为轴旋转一周时，得到的几何体是一个圆锥，它的母线长为AB，底面圆半径为BC=6．由勾股定理，得
AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10．
∴这时圆锥的表面积=π×6×10+π×6²=60π+36π=96π．
（2）当以BC边所在直线为轴旋转一周时，得到的几何体也是一个圆锥，它的母线长为AB=10，底面圆半径为AC=8．
∴圆锥表面积=π×8×10+π×8²=80π+64π=144π．
（3）当以AB边所在直线为轴旋转一周时，得到的几何体是底面是同圆，母线长分别是AC和BC的两个圆锥．
作CD⊥AB于D．则CD=

AC•BC

AB

=

8×6

10

=4.8．
∵以AC为母线的圆锥的侧面积=π×4.8×8=

192

5

π，
以BC为母线的圆锥的侧面积=π×4.8×6=

144

5

π，
∴所求几何体的表面积=

192

5

π+

144

5

π=

336

5

π．

点评：本题考查了三角形绕一边旋转得到的几何体表面积的计算，实质是圆锥的表面积的计算；关键是明确圆锥的母线长以及底面半径．