Question

已知函数f（x）=x²-3|x-a|其中a∈R．
（1）当a=0时，方程f（x）=b+1恰有三个根，求实数b的值；
（2）若a＞0，函数g（x）=x³+1-xf（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）当a=0时，方程化为x²-3|x|=b+1，令y=x²-3|x|，y=b+1，作图解答；
（2）g（x）=x³+1-xf（x）=3x|x-a|+1=

3x2-3ax+1，x≥a -3x2+3ax+1，x＜a

，作出图象解答．

解答： 解：（1）当a=0时，方程x²-3|x|=b+1，
令y=x²-3|x|，y=b+1，
作图如下，

则b+1=0，解得b=-1；
（2）g（x）=x³+1-xf（x）=3x|x-a|+1，（a＞0）
g（x）=

3x2-3ax+1，x≥a -3x2+3ax+1，x＜a

，作图如下，

由g（

a

2

）=-3

a2

4

+

3a2

2

+1=3x02-3ax₀+1，
解得x₀=

2 +1

2

a；
要使g（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，
m的取值范围为[0，

a

2

），n的取值范围为（a，

2 +1

2

a]．

点评：本题考查了函数与方程的关系，同时考查了数列结合的数学思想，属于难题．