Question

已知α、β满足cosα=

4

5

，tan（β-α）=

1

3

，且α为锐角．
（1）sinα的值；
（2）tan（β-2α）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数间的平方关系可求得sinα的值；
（2）由（1）得tanα=

3

4

，结合tan（β-α）=

1

3

，利用两角差的正切公式tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]=

tan(β-α)-tanα

1+tan(β-α)tanα

即可求得tan（β-2α）的值．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）cosα=

4

5

由sin²α+cos²α=1，----------------（2分）
得sin2α=1-

16

25

=

9

25

，----------------（4分）
因为α为锐角，所以 sinα=

3

5

----------------（6分）
（2）由（1）可得tanα=

sinα

cosα

=

3

4

----------------（8分）
tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]=

tan(β-α)-tanα

1+tan(β-α)tanα

----------------（12分）
由tan(β-α)=

1

3

，tanα=

3

4

tan（β-2α）=

1 3 - 3 4

1+ 1 4

=-

1

3

----------------（14分）

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查同角三角函数间的关系式的应用，考查运算求解能力．