Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点为F₁，F₂，左准线为l，P为椭圆上一点，PQ⊥l，垂足为Q．若四边形PQF₁F₂为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，根据椭圆上动点P横坐标满足：-a≤x≤a，结合PQF₁F₂是平行四边形，得|PQ|=|F₁F₂|，建立关于ac的不等式，解之再结合椭圆离心率的取值范围，可求得该椭圆的离心率取值范围．

解答： 解：如图所示：

∵点P是椭圆上的动点，
∴P点横坐标x满足：-a≤x≤a（等号不能成立），
∵四边形PQF₁F₂为平行四边形，
∴|PQ|=|F₁F₂|=2c，
∵左准线方程为x=-

a2

c

，|PQ|=x+

a2

c

=2c，
∴x=2c-

a2

c

，
因此可得-a＜2c-

a2

c

＜a，各项都除以a，得-1＜2e-

1

e

＜1
解不等式，得

1

2

＜e＜1，
故答案为：(

1

2

，1)．

点评：本题给出椭圆上存在动点到左准线的距离等于焦距，求椭圆离心率取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．