Question

13．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FD}$．
（1）证明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB=2，求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，
∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…（2分）
又$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FD}$，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，
∴FG∥EO，∴PB∥FG．…（4分）
∵FG?平面FMN，PB?平面FMN，
∴PB∥平面FMN．…（5分）
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．…（6分）
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），
则$\overrightarrow{AC}=（{2，2，0}）$，$\overrightarrow{AE}=（{0，1，1}）$，…（7分）
∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n₀=（0，0，1）．…（8分）
设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{AE}=0\\ n•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$，…（9分）
令x=1，则y=-1，z=1，∴n=（1，-1，1），…（10分）
∴$cos（{{n_0}，n}）=\frac{{{n_0}•n}}{{|{n_0}||n|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（11分）
由图可知，二面角E-AC-B为钝角，
∴二面角E-AC-B的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．