Question

1．已知椭圆C的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合；过点M（1，1）且斜率为$-\frac{1}{2}$的直线交椭圆C于A、B两点，且M是线段AB的中点，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，求出抛物线y²=8x的焦点为（2，0），可得椭圆C的焦点在x轴上，且c=2，可以设该椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则a²-b²=4，①；由点差法进行分析：设出A、B的坐标，代入椭圆的方程可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=②}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1③}\end{array}\right.$，②-③可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，④，再结合直线的斜率以及A、B的中点坐标，计算可得a²的值，结合a²-b²=4可得b²的值，将a²、b²的值代入椭圆的标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线y²=8x的焦点为（2，0），则椭圆C的焦点在x轴上，且c=2，
可以设该椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则a²-b²=4，①
设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}=②}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}=1③}\end{array}\right.$，
②-③可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，④
又由直线AB的斜率为$-\frac{1}{2}$，则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
AB的中点M的坐标为（1，1），则x₁+x₂=2、y₁+y₂=2，
代入④中，可得a²=8，
又由a²-b²=4，则b²=8，
故要求椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及中点弦问题可以用点差法．