Question

16．定义$[\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{b}_{1}}&{{b}_{2}}\end{array}]$=a₁b₂-a₂b₁，f（x）=$[\begin{array}{l}{\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{3}{2}π+2x）}&{1}\end{array}]$，则f（x）（　　）

• A． 有最大值1
• B． 图象关于直线x=-$\frac{π}{6}$对称
• C． 在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上单调递增
• D． 周期为π的偶函数

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，得出结论．

解答 解：f（x）=$[\begin{array}{l}{\sqrt{3}sinxcosx+co{s}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{3}{2}π+2x）}&{1}\end{array}]$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\sqrt{3}$cos（$\frac{3π}{2}$+2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$sin2x
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
故函数的最大值为1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，故排除A；
当x=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，是函数的最大值，故B正确；
在区间（-$\frac{π}{6}$，0）上，2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），f（x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$ 单调递减，故排除C；
函数f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，且函数为非奇非偶函数，故D不正确，
故选：B．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．