Question

11．已知函数f（x）=x²+blnx和$g（x）=\frac{x-10}{x-4}$的图象在x=5处的切线互相平行．
（1）求b值；
（2）求f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义分别求出函数f（x）与g（x）在x=4处的导数，根据函数f（x）和g（x）的图象在x=5处的切线互相平行，建立等量关系，求出b即可；
（2）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值．

解答 解：（1）g'（x）=$\frac{6}{{（x-4）}^{2}}$，∴g'（5）=6，
∵函数f（x）=x²+blnx和g（x）的图象在x=5处的切线互相平行
∴f'（5）=6，
而f'（x）=2x+$\frac{b}{x}$，则f'（5）=10+$\frac{b}{5}$=6
∴b=-20；
（2）由（1）得：
f（x）=x²-20lnx，显然f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=$\frac{{2x}^{2}-20}{x}$，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$（舍去）
∴当0＜x＜$\sqrt{10}$时，f'（x）＜0，当x＞$\sqrt{10}$时，f'（x）＞0
∴f（x）在（0，$\sqrt{10}$）上是单调递减函数，在（$\sqrt{10}$，+∞）上是单调递增函数
∴f（x）在x=$\sqrt{10}$时取得极小值且极小值为f（$\sqrt{10}$）=10-10ln10．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力．