Question

19．已知数列{a_n}，对于任意的正整数n，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;（1≤n≤2016）\\-2•{（\frac{1}{3}）^{n-2016}}.\;（n≥2017）\end{array}\right.$，设S_n表示数列{a_n}的前n项和．下列关于$\underset{lim}{n→∞}$S_n的结论，正确的是（　　）

• A． $\lim_{n→+∞}{S_n}=-1$
• B． $\lim_{n→+∞}{S_n}=2015$
• C． $\lim_{n→+∞}{S_n}=\left\{\begin{array}{l}2016，（1≤n≤2016）\\-1．（n≥2017）\end{array}\right.$（n∈N*）
• D． 以上结论都不对

Answer 1

分析 推导出S_n=2015-（$\frac{1}{3}$）^n-2016，由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$S_n．

解答 解：∵数列{a_n}，对于任意的正整数n，
${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;（1≤n≤2016）\\-2•{（\frac{1}{3}）^{n-2016}}.\;（n≥2017）\end{array}\right.$，设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
∴a₁=a₂=a₃=…=a₂₀₁₆=1，
${a}_{2017}=-\frac{2}{3}$，${a}_{2018}=-\frac{2}{9}$，${a}_{2019}=-\frac{2}{27}$，…，
∴S_n=2016+$\frac{-\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n-2016}]}{1-\frac{1}{3}}$=2016-1+（$\frac{1}{3}$）^n-2016=2015+（$\frac{1}{3}$）^n-2016，
$\underset{lim}{n→∞}$S_n[2015+（$\frac{1}{3}$）^n-2016]=2015．
故选：B．

点评 本题考查数列的极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．