Question

15．已知函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$
（1）当函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值．
（2）若x≥1时，f（x）≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可求导数，f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$，从而可以求出f（x）在点x=1处的切线斜率k=f′（1），而根据切线和直线4y-x+1=0垂直，这样便知切线斜率为-4，从而有f′（1）=-4，这样即可求出m的值；
（2）由条件便可得到m≥x-xlnx在x≥1上恒成立，可设g（x）=x-xlnx，并求得g′（x）=-lnx，从而可说明g′（x）≤0，从而得出g（x）在[1，+∞）上单调递减，从而可求出g（x）在[1，+∞）上的最大值，从而便可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$；
切线和直线4y-x+1=0垂直；
∴切线斜率为-4；
∴f′（1）=1-m=-4；
∴m=5；
（2）x≥1时，f（x）≥1恒成立；
∴$lnx+\frac{m}{x}≥1$恒成立；
∴m≥x-xlnx在x≥1上恒成立，设g（x）=x-xlnx，g′（x）=-lnx；
x≥1；
∴-lnx≤0；
∴g（x）在x≥1上单调递减；
∴g（x）在x≥1上的最大值为g（1）=1；
∴m≥1；
∴实数m的取值范围为：[1，+∞）．

点评 考查函数在图象上某点的导数和过该点的切线斜率的关系，根据导数符号判断函数单调性的关系，根据函数的单调性求函数的最值，掌握恒成立问题的解法．