Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PAB⊥平面PDC；
（3）求直线BD与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）可取AD中点O，BC中点G，并连接PO，OG，根据已知条件即可说明OA，OG，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设PA=1，从而可确定图形上一些点的坐标，从而可求出$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{PA}$的坐标，根据共线向量基本定理即可说明$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{PA}$，从而得出EF∥PA，根据线面平行的判定定理即可得出EF∥平面PAD；
（2）根据已知条件可得到PA⊥PD，并且有CD⊥平面PAD，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可得出平面PAB⊥平面PDC；
（3）可说明$\overrightarrow{PA}$为平面PCD的法向量，并设直线BD与平面PCD所成角的大小为θ，然后根据$sinθ=|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BD}＞|$即可求出sinθ，从而得出θ．

解答 解：（1）证明：如图，取AD中点O，BC中点G，连接PO，OG，PA=PD，∴PO⊥AD；
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PO?侧面PAD；
∴PO⊥底面ABCD，又ABCD为正方形，O，G分别为AD，BC中点；
∴OA，OG，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PA=1，则根据条件可确定以下几点坐标：
O（0，0，0），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），$B（\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0）$，$C（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0）$，D（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），E（$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）；
∴$\overrightarrow{EF}=（\frac{\sqrt{2}}{4}，0，-\frac{\sqrt{2}}{4}）$，$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PA}$；
∴$\overrightarrow{EF}$∥$\overrightarrow{PA}$；
∴EF∥PA，PA?平面PAD，EF?平面PAD；
∴EF∥平面PAD；
（2）根据PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AD$便得，∠APD=90°，即PA⊥PD；
又CD⊥平面PAD，PA?平面PAD；
∴CD⊥PA，即PA⊥CD，PD∩CD=D；
∴PA⊥平面PDC，PA?平面PAB；
∴平面PAB⊥平面PDC；
（3）根据（2）PA⊥平面PCD；
∴$\overrightarrow{PA}=（\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$为平面PCD的法向量，$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0$）；
设直线BD与平面PCD所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BD}＞|$=$\frac{1}{1•2}=\frac{1}{2}$；
∴θ=30°；
∴直线BD和平面PCD所成角的大小为30°．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何问题的方法，面面垂直的性质定理，线面垂直、面面垂直的判定定理，以及共线向量基本定理，线面平行的判定定理，平面法向量的概念，向量夹角的余弦公式．