Question

19．已知函数f（x）=x²-2ax+a，
（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于f（x）≥0在R上恒成立，则需满足△≤0，解之即可得到a的取值范围；
（2）要使不等式f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，只需求出函数f（x）=x²-2ax+a在x∈[1，4]时的最小值，使最小值≥0即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2ax+a．
∵f（x）≥0在R上恒成立，
∴△≤0，即4a²-4a≤0，解得0≤a≤1．
则a的取值范围为[0，1]； 
（2）函数f（x）=x²-2ax+a=（x-a）²-a²+a，
∵f（x）≥0在x∈[1，4]上恒成立，∴f（x）min≥0，
①当1＜a＜4时，f（x）min=f（a）=a-a²≥0，解得0≤a≤1，所以此解不符合题意，舍去．
②当a≥4时，f（x）在[1，4]上递减，则f（x）min=f（4）=16-7a≥0，解得a≤$\frac{16}{7}$，所以此解不符合题意，舍去．
③当a≤1时，f（x）在[1，4]上递增，则f（x）min=f（1）=1-a≥0，则a≤1．
 综上可知，a的取值范围（-∞，1]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，恒成立问题，其中将问题转化为f（x）的最小值大于或等于0，是解答的关键．