Question

16．已知函数f（x）=2x³-3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，则t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-3）
• B． （-3，-1）
• C． （-1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．

解答 解：设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x³-3x），
则$\frac{2{x}^{3}-3x-t}{x-1}$=6x²-3，
化简得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
则令g′（x）=12x（x-1）=0，
则x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．
故选：B．

点评 本题主要考查利用导数求切线方程等知识，考查转化思想的运用能力和运算能力，属中档题．