Question

1．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3）
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C与直线l有唯一公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3），把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入化为直角坐标方程．
（II）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），消去参数t，化为普通方程．利用直线与圆相切的充要条件即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3），
化为直角坐标方程：x²+y²-2$\sqrt{3}$y=a，配方为：x²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=3+a＞0．
（II）直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$为参数），消去参数t，化为普通方程：$\sqrt{3}x$-y=0．
∵曲线C与直线l有唯一公共点，
∴圆心$（0，\sqrt{3}）$到直线l的距离d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{2}$=3+a，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-3．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．