Question

19．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n（n∈N^*）．
（1）试求a₁之值，并确定数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$，n∈N^*，试求{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n（n∈N^*），∴$2{a}_{1}-{a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=1，
∴S_n=2a_n-1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化为：a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为1．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴{b_n}前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．