Question

7．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$．
（1）若曲线y=f（x）（0＜x＜3）上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）-$\frac{a}{x}$+x=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，条件转化为a≥-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀，x₀∈（0，3]恒成立，由二次函数最值求法，即可得出a的范围；
（2）由题意可得lnx+x=mx有唯一解，即m=1+$\frac{lnx}{x}$，设g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，求出导数和单调区间、极值和最值，端点处的函数值，可得m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）图象上任意一点的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，
∴$\frac{1}{{x}_{0}}$-$\frac{a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x₀∈（0，3]恒成立，
∴a≥-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀，x₀∈（0，3]恒成立，
由 y=-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀=-$\frac{1}{2}$（x₀-1）²+$\frac{1}{2}$，
可知x₀=1时，函数值为$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）方程f（x）-$\frac{a}{x}$+x=mx在区间[1，e²]内有唯一实数解，
即为lnx+x=mx有唯一解，
即m=1+$\frac{lnx}{x}$，
设g（x）=1+$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当e＜x＜e²时，g′（x）＜0，g（x）递减．
g（x）在x=e处取得最大值g（e）=1+$\frac{1}{e}$，
g（1）=1，g（e²）=1+$\frac{2}{{e}^{2}}$，g（1）＜g（e²），
则实数m的取值范围是m=1+$\frac{1}{e}$或1≤m＜1+$\frac{2}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，考查构造函数法，求出导数和单调区间、极值和最值，此题是中档题．