Question

锐角三角形△ABC中，若A=2B，则下列叙述正确的是（　　）
①sin3B=sinC；②tan

3B

2

tan

C

2

=1；③

π

6

＜B＜

π

4

；④

a

b

∈[

2

，

3

]．

• A、①②
• B、①②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

分析：由△ABC为锐角三角形可得

0＜A＜ π 2 0＜B＜ π 2 0＜C＜ π 2

，由A=2B，可得C=π-3B，代入已知可求的B的范围，从而可判断③
由C=π-3B，利用正弦函数的诱导公式可判断①，利用正切函数的诱导公式可判断②
利用正弦定理可及二倍角公式化简可得，

a

b

=

sinA

sinB

=

2sinBcosB

sinB

=cosB，由③中B∈(

π

6

，

π

4

)结合余弦函数的单调性可求范围，从而判断④

解答：解：∵△ABC中，A=2B∴C=π-（A+B）=π-3B
又∵△ABC为锐角三角形

0＜2B＜ π 2 0＜π-3B＜ π 2 0＜B＜ π 2

解不等式可得

π

6

＜B＜

π

4

故③正确
∴sinC=sin（π-3B）=sin3B故①正确
tan

3B

2

tan

C

2

=tan

3B

2

tan

π-3B

2

=tan

3B

2

cot

3B

2

=1，故②正确

a

b

=

sinA

sinB

=

sin2B

sinB

=

2sinBcosB

sinB

=2cosB
由

π

6

＜B＜

π

4

可得

2

2

＜ cosB＜

3

2

故④错误
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，解三角形的基本工具：正弦定理，二倍角的正弦公式及由角的范围求三角函数值的范围，综合的知识点较多，但都是基本运用，要求考生熟练基本公式，灵活运用公式解题．