Question

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

7

，c=2，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后根据sinA不为0，求出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）由

3

a-2bsinA=0，
根据正弦定理得：

3

sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB=

3

2

，…（5分）
又B为锐角，
则B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=

π

3

，
∵b=

7

，c=2，
根据余弦定理得：7=a²+4-4acos

π

3

，…（8分）
整理得：a²-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7+4-9

4 7

=

7

14

，…（11分）
则

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=cbcosA=2×

7

×

7

14

=1．…（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．