Question

（2011•南充一模）在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a²+b²-

2

ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求证：2A-B=

π

2

；
②求三角形ABC三个角的大小．

Answer 1

分析：（1）将等式tanA-tanB=csc2A进行“切化弦”，再利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得tan（-2A）=tan
（

π

2

-B），结合A、B均为锐角得-2A+π=

π

2

-B，即得2A-B=

π

2

成立；
（2）利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，结合题意解出cosC=

2

2

，从而得到C=

π

4

．再结合三角形内角和定理和（1）的等式联解，即可得到△ABC三个角的大小．

解答：解：（1）∵tanA-tanB=csc2A，即

sinA

cosA

-

sinB

cosB

=

1

sin2A

∴

2sin2A-1

2sinAcosA

=

sinB

cosB

，可得-

cos2A

sin2A

=

cos( π 2 -B)

sin( π 2 -B)

即-tan2A=tan（

π

2

-B），得tan（-2A）=tan（

π

2

-B），
∵A、B∈（0，

π

2

），∴-2A+π=

π

2

-B，解之得2A-B=

π

2

；
（2）∵a²+b²-

2

ab=c²，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得cosC=

2

2

结合C∈（0，

π

2

），得C=

π

4

由三角形内角和定理，得A+B=

3π

4

根据（1）2A-B=

π

2

，联解得A=

5π

12

，B=

π

3

综上所述，三角形ABC三个角的大小分别为A=

5π

12

，B=

π

3

，C=

π

4

．

点评：本题给出三角形的边和角满足的条件，求三角形的三个内角的大小．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角三角函数公式和余弦定理等知识点，属于中档题．