Question

14．在三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，且SA=SB=SC，求证：平面ASC⊥平面ABC．

Answer 1

分析 令SA=SB=SC=a，结合条件，求得AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，有勾股定理的逆定理，可得△ABC为直角三角形，取AB的中点O，连接SO，BO，由线面垂直的判定定理，可得SO⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：令SA=SB=SC=a，
由∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，
即有AB=BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，
则△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，
取AB的中点O，连接SO，BO，
由SA=SB，可得SO⊥AC，
由SB=a，OB=SO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，即有SO⊥OB，
由OB∩AC=O，
可得SO⊥平面ABC，
由SO?平面SAC，
则平面SAC⊥平面ABC．

点评 本题考查面面垂直的判定定理的运用，考查空间线面的位置关系，属于中档题．