Question

1．式子$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}$+$\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}$（θ∈R）的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 法一：利用不等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，即可求出答案，
法二：先通分，再利用基本不等式即可求出．

解答 解：法一：利用不等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}≥\frac{4}{x+y}$，$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}+\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}≥\frac{4}{{4-（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}=\frac{4}{3}$，当且仅当sin²θ=cos²θ，即$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$时，等号成立，故选A；
法二：直接通分，$\frac{1}{{2-{{cos}^2}θ}}+\frac{1}{{2-{{sin}^2}θ}}=\frac{{4-（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}{{4-2（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）+{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}$=$\frac{3}{{2+\frac{1}{4}{{sin}^2}2θ}}≥\frac{4}{3}$，
当且仅当sin²θ=cos²θ，即$θ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}（k∈Z）$时，等号成立．
故选：A．

点评 本题考查利用基本不等式、函数的单调性求最值问题，考查化简、变形能力，属于中档题．