Question

9．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得这个函数的单调递增区间．

解答 解：（1）由图可知：A=2，$\frac{T}{2}=\frac{3π}{8}-（-\frac{π}{8}）=\frac{π}{2}$，所以T=π，由$T=\frac{2π}{ω}$得ω=2，
所以y=2sin（2x+ϕ），又因为该图象过点$（-\frac{π}{8}，2）$，
所以$2=2sin[2×（-\frac{π}{8}）+ϕ]$，即$sin（-\frac{π}{4}+ϕ）=1$，
所以$-\frac{π}{4}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$即$ϕ=\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$，
又因为|ϕ|＜π，所以$ϕ=\frac{3π}{4}$，∴函数y=2sin（2x+$\frac{3π}{4}$）．
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{3π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
得$-\frac{5π}{4}+2kπ≤2x≤-\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$，即$-\frac{5π}{8}+kπ≤x≤-\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$，
所以这个函数的单调增区间为$[-\frac{5π}{8}+kπ，-\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，正弦函数的单调性，属于基础题．