Question

6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=2t-1}\end{array}$（t为参数），直线和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出圆C的直角坐标方程，得出圆心坐标，转化为极坐标；
（II）求出直线l的普通方程，圆心到直线的距离d，利用勾股定理求出|AB|，则△PAB在AB边上的高最大为d+r．

解答 解；（I）∵$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，∴ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴圆C的直角坐标方程为x²+y²=2y-2x，即（x+1）²+（y-1）²=2．
∴圆C的圆心为C（-1，1），转化为极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$）．
（II）直线l的普通方程为2x-y+1=0，
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．又圆C的半径r=$\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴当P到直线l的距离为d+r时，△PAB面积最大．
∴△PAB面积的最大值为$\frac{1}{2}$|AB|•（d+r）=$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{30}}{5}•（\frac{2\sqrt{5}}{5}+\sqrt{2}）$=$\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．