Question

11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ．（1）写出曲线C的一个参数方程；
（2）若直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=3t}\end{array}\right.$ （t为参数）与曲线C有且仅有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C的直角坐标方程，再转化为参数方程；
（2）求出直线l的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程解出m．

解答 解：（1）∵ρ=6cosθ+2sinθ．∴ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=6x+2y，即（x-3）²+（y-1）²=10．
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（2）直线l的普通方程为3x-y-3m=0，
∵直线l与曲线C有且仅有一个公共点，
∴曲线C的圆心（3，1）到直线l的距离d=$\sqrt{10}$．
∴$\frac{|8-3m|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，
解得m=$\frac{10}{3}$或m=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．