Question

1．（1）已知x＞0，y＞0，x+2y=8，求xy的最大值
（2）设x＞-1，求函数y=x+$\frac{4}{x+1}$+6的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式的性质得到$x+2y≥2\sqrt{2xy}$，通过平方整理得xy≤8即可；（2）得到y=x+1+$\frac{4}{x+1}$+5，根据基本不等式的性质求解即可．

解答 解：（1）x＞0，y＞0，
$x+2y≥2\sqrt{2xy}$，即$8≥2\sqrt{2xy}$，
两边平方整理得xy≤8，
当且仅当x=4，y=2时取最大值8；
（2）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴y=x+$\frac{4}{x+1}$+6=x+1+$\frac{4}{x+1}$+5
≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{4}{x+1}}$+5=9，
当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$，即x=1时，取等号，
∴x=1时，函数的最小值是9．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，注意应用性质需满足的条件，本题是一道基础题．