Question

1．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（2）求y-x最大值与最小值；
（3）求x²+y²+2x+2y最大值与最小值；
（4）若对任意的x，y有x+2y+m≥0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当直线y=kx与圆相切时，k取得最值，利用切线的性质求出k；
（2）令z=y-x，则当直线y=x+z与圆相切时，截距取得最值，即z取得最值，利用切线的性质解出z的最值；
（3）x²+y²+2x+2y=6x+2y-1，令z=6x+2y-1，参考（2）的解法求出z的最值；
（4）m≥-x-2y，令z=-x-2y，参考（2）的解法求出z的最大值即可．

解答 解：设圆C：x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3．
（1）设$\frac{y}{x}=k$，则当直线y=kx与圆C相切时，直线斜率最大或最小，即k最大或最小．
设直线y=kx与圆C切于第一象限内的点A，则AC=$\sqrt{3}$，OC=2，∴OA=1，
∴k=tan∠AOC=$\frac{AC}{OA}=\sqrt{3}$，
由图象的对称性可知当y=kx与圆C相切于第四象限内时，k=-$\sqrt{3}$．
∴$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$．
（2）令z=y-x，则y=x+z，
∴当直线y=x+z与圆C相切时，z取得最大值或最小值．此时圆心到直线x-y+z=0的距离d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|2+z|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，解得z=-2±$\sqrt{6}$．
∴y-x的最大值为-2+$\sqrt{6}$，最小值为-2-$\sqrt{6}$．
（3）∵x²+y²-4x+1=0，
∴x²+y²+2x+2y=4x-1+2x+2y=6x+2y-1，
令z=6x+2y-1，则y=-3x+$\frac{1+z}{2}$，
∴当直线y=-3x+$\frac{1+z}{2}$与圆C相切时，z取得最大值或最小值，此时圆心到直线6x+2y-1-z=0的距离d=r=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|11-z|}{2\sqrt{10}}=\sqrt{3}$，解得z=11±2$\sqrt{30}$，
∴x²+y²+2x+2y最大值是11+2$\sqrt{30}$，最小值是11-2$\sqrt{30}$．
（4）∵x+2y+m≥0，∴m≥-x-2y恒成立．
令z=-x-2y，则y=-$\frac{1}{2}x$-$\frac{z}{2}$．
∴当直线y=-$\frac{1}{2}x$-$\frac{z}{2}$与圆C相切时，z取得最大值或最小值，此时圆心到直线x+2y+z=0的距离d=r=$\sqrt{3}$，
．∴$\frac{|2+z|}{\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，解得z=-2±$\sqrt{15}$，
∴-x-2y的最大值为-2+$\sqrt{15}$，
∴m≥-2+$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，简单的线性规划，属于中档题．